Multiples et sous-multiples

Pour remplacer les puissances de 10

les multiples :

les sous-multiples :

Conversions :

Convertir 34 pm en km

Convertir 34 μg en fg (femtogramme)

Combien y a-t-il de $\text{mm}^3$ dans $\pu{1 m^3}$ ?

1. $10^3$
2. $10^6$
3. $10^9$
4. $10^{12}$

$\pu{1 m^3} = \left(10^3\ \text{mm}\right)^3 = 10^9\ \text{mm}^3$

Convertir 34 m$^3$ en nm$^3$

Convertir 34 nm$^2$ en μm$^2$

Rappels des règles avec
les puissances de 10 :

Notation scientifique

Les physiciens manipulent des nombres
très grands ou très petits :

• masse de la Terre :
  $5\,970\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\ \text{kg}$
• masse d'un électron :
  $0{,}000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,91\ \text{kg}$

Illisible ! D'où la notation scientifique :
$5{,}97\times10^{24}\ \text{kg}$ et $9{,}1\times10^{-31}\ \text{kg}$.

Un nombre est écrit en notation scientifique
lorsqu’il est sous la forme :

$a\times10^{n}$

• $a$ est un nombre décimal avec un seul chiffre
  non nul avant la virgule : $1\leqslant a \lt 10$ ;
• $n$ est un entier relatif : $n\in\mathbb{Z}$.

Rq : pour un nombre négatif, le signe se place devant :
charge de l'électron $=-1{,}6\times10^{-19}\ \text{C}$.

Méthode : on place la virgule juste après
le premier chiffre non nul, puis on compte
de combien de rangs on l’a déplacée :

• vers la gauche : $n$ positif (grand nombre)
• vers la droite : $n$ négatif (nombre plus petit que 1)

Exemples :

• $340$ $\longrightarrow$ $3{,}4\times10^{2}$
• $6\,370\,000$ $\longrightarrow$ $6{,}37\times10^{6}$
• $0{,}052$ $\longrightarrow$ $5{,}2\times10^{-2}$
• $0{,}000\,8$ $\longrightarrow$ $8\times10^{-4}$

Et si le nombre comporte déjà
une puissance de 10 ?

• $632\times10^{5}$
  $\longrightarrow$ $6{,}32\times10^{2}\times10^{5}$ $=6{,}32\times10^{7}$
• $0{,}25\times10^{-3}$
  $\longrightarrow$ $2{,}5\times10^{-1}\times10^{-3}$ $=2{,}5\times10^{-4}$

Si on multiplie $a$ par 10, on retire 1 à $n$
(et inversement) : le nombre ne change pas !

Ces quatre écritures valent toutes 25 000.
Laquelle est en notation scientifique ?

1. $250\times10^{2}$
2. $25\times10^{3}$
3. $2{,}5\times10^{4}$
4. $0{,}25\times10^{5}$

Comment s’écrit $0{,}0045$
en notation scientifique ?

1. $4{,}5\times10^{3}$
2. $4{,}5\times10^{-3}$
3. $45\times10^{-4}$
4. $4{,}5\times10^{-2}$

Écrire en notation scientifique :

• rayon de la Terre : $6\,370\ \text{km}$ $\longrightarrow 6{,}37\times10^{3}\ \text{km}$
• épaisseur d'un cheveu : $0{,}000\,07\ \text{m}$ $\longrightarrow 7\times10^{-5}\ \text{m}$
• vitesse de la lumière : $300\,000\ \text{km/s}$ $\longrightarrow 3\times10^{5}\ \text{km/s}$
• $48{,}5\times10^{3}\ \text{J}$ $\longrightarrow 4{,}85\times10^{4}\ \text{J}$
• $0{,}032\times10^{-5}\ \text{m}$ $\longrightarrow 3{,}2\times10^{-7}\ \text{m}$

Calculer et donner le résultat
en notation scientifique :

• $(3\times10^{4})\times(2\times10^{-7})$ $=6\times10^{-3}$
• $\dfrac{8\times10^{5}}{4\times10^{-2}}$ $=2\times10^{7}$
• $(2\times10^{-3})^{2}$ $=4\times10^{-6}$
• $(2{,}5\times10^{3})\times(6\times10^{2})$ $=15\times10^{5}$ $=1{,}5\times10^{6}$

Attention : $15$ n'est pas compris entre 1 et 10,
il faut encore transformer l'écriture !

Deux petites vidéos qui reprennent tout ça :

Ordre de grandeur
et puissances de 10

Ordre de grandeur ?

L'ordre de grandeur d'un nombre $a\times 10^b$
écrit en notation scientifique ($1≤a<10$) vaut :

• $10^b$       si $a<5$
• $10^{b+1}$  si $a≥5$

• $\pu{3E5}$ $\,\,$ ${\longrightarrow}$ $10^5$
• $\pu{5E5}$ $\,\,$ ${\longrightarrow}$ $10^6$
• $\pu{8E-5}$ ${\longrightarrow}$ $10^{-4}$
• $\pu{2E-5}$ ${\longrightarrow}$ $10^{-5}$
• $\pu{3,5}$ $\qquad \;$ ${\longrightarrow}$ $10^0$ ou $1$

D’autres ordres de grandeur à trouver :

• $\pu{632E5}$ ${\longrightarrow}$ $10^8$
• $\pu{632E-4}$ ${\longrightarrow}$ $10^{-1}$
• $\left(\pu{2E1}\right)^3$ ${\longrightarrow}$ $10^4$
• $\pu{5,0E-4}/1000$ ${\longrightarrow}$ $10^{-6}$
• $\frac{9800}{\pu{1060000}}$ ${\longrightarrow}$ $10^{-2}$

Chiffres significatifs

Une longueur mesurée avec une règle
graduée en millimètres s’écrit $12{,}3\ \text{cm}$,
et non $12{,}3000\ \text{cm}$.

Les chiffres d'une valeur renseignent sur sa précision :
on n'écrit que ceux qui ont un sens,
les chiffres significatifs.

Pour compter les chiffres significatifs :

• tous les chiffres non nuls comptent ;
• les zéros placés entre ou après
  des chiffres non nuls comptent ;
• les zéros placés au début ne comptent pas
  (ils servent seulement à placer la virgule).

• $4{,}52$ $\longrightarrow$ 3 chiffres significatifs
• $1{,}050$ $\longrightarrow$ 4 chiffres significatifs
• $0{,}0045$ $\longrightarrow$ 2 chiffres significatifs
• $3{,}0\times10^{8}$ $\longrightarrow$ 2 chiffres significatifs

Rq : en notation scientifique $a\times10^{n}$,
il suffit de compter les chiffres de $a$.

Combien de chiffres significatifs
compte $1\,500\ \text{m}$ ?

Impossible à dire : 2, 3 ou 4 !

La notation scientifique lève l'ambiguïté :

• $1{,}5\times10^{3}\ \text{m}$ : 2 chiffres significatifs
• $1{,}50\times10^{3}\ \text{m}$ : 3 chiffres significatifs
• $1{,}500\times10^{3}\ \text{m}$ : 4 chiffres significatifs

Combien de chiffres significatifs
compte $0{,}0320$ ?

1. 2
2. 3
3. 4
4. 5

Les zéros du début ne comptent pas,
mais le zéro final, lui, compte : $3{,}20\times10^{-2}$.

Pour arrondir, on regarde le chiffre suivant :
s’il vaut 5 ou plus, on arrondit au-dessus.

Arrondir à 2 chiffres significatifs :

• $9{,}81$ $\longrightarrow 9{,}8$
• $0{,}0347$ $\longrightarrow 0{,}035$
• $6\,371$ $\longrightarrow 6{,}4\times10^{3}$
• $2{,}96$ $\longrightarrow 3{,}0$ (on garde le zéro !)

Et après un calcul ?

Rq : on garde tous les chiffres pendant le calcul
et on n'arrondit qu'à la fin.

Un son parcourt $d = 1{,}7\ \text{km}$ en $\Delta t = 5{,}00\ \text{s}$.

$v = \dfrac{d}{\Delta t} = \dfrac{1\,700\ \text{m}}{5{,}00\ \text{s}}$ : la calculatrice affiche $340$.

$d$ n'a que 2 chiffres significatifs, donc :
$v = 3{,}4\times10^{2}\ \text{m/s}$

Éthanol : $\rho = 0{,}79\ \text{g/mL}$ et $V = 12{,}0\ \text{mL}$.
La calculatrice affiche $m = \rho\times V = 9{,}48$.

Quel résultat faut-il écrire ?

1. $9{,}48\ \text{g}$
2. $9{,}5\ \text{g}$
3. $9\ \text{g}$
4. $10\ \text{g}$

$\rho$ n'a que 2 chiffres significatifs :
le résultat aussi.

Calculer en donnant le résultat avec
le bon nombre de chiffres significatifs :

• Poids : $m = 2{,}5\ \text{kg}$ et $g = 9{,}81\ \text{N/kg}$
  $P = m\times g = 24{,}525\ldots$ $\Rightarrow P = 25\ \text{N}$
• Vitesse : $d = 100{,}0\ \text{m}$ et $\Delta t = 9{,}58\ \text{s}$
  $v = \dfrac{d}{\Delta t} = 10{,}438\ldots$ $\Rightarrow v = 10{,}4\ \text{m/s}$

• Concentration : $m = 4{,}5\ \text{g}$ et $V = 0{,}500\ \text{L}$
  $C_m = \dfrac{m}{V} = 9$ $\Rightarrow C_m = 9{,}0\ \text{g/L}$ (on garde le zéro !)
• Quantité de matière : $N = 3{,}2\times10^{25}$
  et $N_A = 6{,}02\times10^{23}\ \text{mol}^{-1}$
  $n = \dfrac{N}{N_A} = 53{,}156\ldots$ $\Rightarrow n = 53\ \text{mol}$

Vidéo riche (un peu trop) sur les cs :