Diffraction et interférences

Signature du caractère ondulatoire

Quels indices expérimentaux témoignent-ils
de la nature ondulatoire d’un phénomène ?

• la diffraction
• les interférences

Animations interactives

Diffraction

La diffraction d’une onde correspond à l’étalement
des directions de propagation lorsque l’onde rencontre un obstacle ou une ouverture.

L'étalement est d'autant plus marqué que
l'obstacle ou l'ouverture sont petits.

La fréquence $f$ et la célérité $c$ de l'onde, et donc
sa longueur d'onde $\lambda=c/f$ sont conservés.

Le phénomène de diffraction est nettement observé lorsque la taille caractéristique $a$ de l’obstacle ou ouverture est du même ordre de grandeur que la longueur d’onde $\lambda$ de l’onde.

Dans le cas d'ondes lumineuse, le critère est moins restrictif et le phénomène est encore apparent pour
des tailles $a$ jusqu'à 100 fois plus grandes que $\lambda$.

La diffraction est caractérisée par
un angle de diffraction définie comme
l’angle entre la direction de propagation
sans diffraction et la direction définie
par le milieu de la “première extinction”.

Dans le cas de la diffraction d’une onde lumineuse monochromatique de longueur d’onde $\lambda$ (produite par un laser) par une fente rectangulaire de largeur $a$, l’angle caractéristique de diffraction $\theta$ est donné par :

• $\lambda$ en $\pu{m}$
• $a$ en $\pu{m}$
• $\theta$ en $\pu{rad}$

• Pour une longueur d'onde fixée :
  $a \searrow\;\; \Rightarrow \;\;$$\theta$ $\nearrow$


• Pour une taille $a$ fixée :
  $\lambda \nearrow\;\; \Rightarrow \;\;$$\theta$ $\nearrow$

Dans l’approximation des petits angles ($\theta\ll 1$), exprimer la taille de la tâche centrale $L$
en fonction de $\lambda$, $D$ et $a$.

$$L\approx \frac{2\lambda D}{a}$$

Démonstration :

$$\tan\theta = \frac{L/2}{D}$$

Or d'après l'approximation des petits angles :
$\tan\theta \approx \theta$ (⚠️ valable qu'en radians)

D'où :

$$\theta\approx \frac{L}{2D}$$

Et comme $\theta=\frac{\lambda}{a}$, on obtient finalement :

$$\displaystyle\frac\lambda a \approx \frac{L}{2D}$$

$\displaystyle\Rightarrow L = \frac{2D\lambda}{a}$

Exemples de conséquences concrètes :

l'onde diffractée peut atteindre des endroits qui
seraient inaccessibles sans l'étalement
des directions de propagation.

Un son diffracté par l'entrebâillement d'une porte peut ainsi être entendu dans toute la pièce et un bateau
peut subir la houle même à l'abri d'une digue.

La figure de diffraction nous renseigne sur la forme géométrique de l’obstacle qu’a rencontré l’onde !

Un grand nombre de structures de protéines ont ainsi été déterminées par diffraction (on cristallise d'abord la protéine puis on envoie le rayonnement dans le cristal)

Quel doit être l’ordre de grandeur
de la longueur d’onde à utiliser ?

À quelle partie du spectre électromagnétique appartient le rayonnement ?

C’est aussi grâce à une diffraction aux rayons X
qu’a été découverte grâce Rosalind Franklin
la structure en double hélice de l’ADN.

Enfin, la tâche de diffraction correspondant à l’ouverture d’un télescope ou d’une lunette donne
la résolution ultime atteignable par l’appareil.

Moins fondamental mais intéressant :

la forme des miroirs et des tiges tenant le miroir secondaire expliquent les aigrette sur les images d'étoile prises par Hubble ou Webb.

Comparaison Hubble/Webb

Interférences de deux ondes

Lorsque deux ondes se rencontrent en un point,
leurs amplitudes en ce point s’additionnent.

Il n'y a pas d'interaction, chaque onde évoluant indépendamment l'une de l'autre, mais il y a superposition des perturbations.

Conditions d’observation :

• les ondes doivent être de même nature ;


• les sources doivent être synchrones
  = de même fréquence ;


• les sources doivent être cohérentes
  = le retard du signal émis par l'une
  par rapport à l'autre reste constant.

Deux signaux sont dit en phase s’ils coïncident
(les extrema se correspondent).

Si en un point, les signaux des deux ondes sont en phase, on dit que l'interférence est constructive.

Deux signaux sont dit en opposition de phase
si les maxima de l’un correspondent aux minima
de l’autre (il y a un déphasage de π ou 180°).

Si en un point, les signaux des deux ondes sont
en opposition de phase, on dit que
l'interférence est destructive.

Imaginons que les oscillations
des sources S₁ et S₂ soient en phase.

La condition pour observer une interférence constructive en M est alors que le déphasage
induit par le chemin supplémentaire $\delta$, appelé différence de marche, soit un multiple de 2π.

$\displaystyle2\pi\frac{\delta}{\lambda}=2p\pi \Rightarrow \delta = p\lambda$
avec $p\in\mathbb{Z}$

Et pour des interférences destructives, il faut :

$$2\pi\frac{\delta}{\lambda}=2\pi\left(p+\frac12\right) \Rightarrow \delta = \left(p+\frac12\right)\lambda$$

$p$ est appelé ordre d’interférence.

Dans le cas de l’expérience optique des trous d’Young (ou des fentes d’Young), les deux trous éclairés par
la source lumineuse agissent ensuite comme
deux sources synchrones cohérentes
séparées d’une distance $a$.

La prise en compte du ralentissement de la lumière dans un milieu d'indice optique $n$ transforme
la différence de marche $\mathrm{S_1M-S_2M}$
en une différence de chemin optique
$\mathrm{[S_1M]-[S_2M]}=n\times(\mathrm{S_1M-S_2M})$.

Si la distance $D$ entre les trous et l’écran est
telle que $D\ll a$, alors l’abscisse $x_p$ sur l’écran d’apparition de la $p$^e frange brillante est donnée par :

$$ x_p=\frac{p\lambda D}{na} $$

Avec $p\in\mathbb{Z}$

Et pour les franges sombres :

$$ x'_p=\frac{(p+\frac12)\lambda D}{na} $$

L’interfrange $i$ sur l’écran est définie comme la distance entre le centre de deux franges brillantes
(ou de deux franges sombres).

Exprimer l'interfrange $i$ en fonction de $x$.

• Si $\lambda\nearrow$, $i$ $\searrow$
• Si $a\nearrow$, $i$ $\searrow$
• Si $D\nearrow$, $i$ $\nearrow$

Conséquences pratiques :

• casques/écouteurs à réduction de bruit active

• couleurs interférentielles

• interférométrie

Utilisée en astronomie, métrologie,
océanographie, séismologie, etc.

Et dans de nombreuses expériences scientifiques (comme celle de Michelson et Morley
à la fin du 19^e siècle)

Grâce à l’interférométrie, un réseau de télescopes ou radiotélescopes une résolution équivalente à celle d’un miroir (ou radiotélescope) de diamètre équivalent à l’écart entre les instruments combinés.

Pour aller plus loin sur les télescopes

La détection des ondes gravitationnelles
utilisent l’interférométrie.

Enfin, si on décale légèrement la fréquence des sources, on observe non plus seulement des franges dans l’espace mais aussi dans le temps.

On les appelle battements. On les utilise par
exemple pour accorder les instruments.