Condensateurs
et circuit RC
Intensité
L’intensité $i(t)$ d’un courant électrique en un point d’un circuit est donnée par le débit de charges électriques en ce point à l’instant $t$.
En régime permanent (indépendant du temps),
où $Q$ est la variation de charge
pendant le laps de temps $\Delta t$ ($Q=\Delta q$)
- $i$ en A
- $\Delta t$ en s
- $Q$ en coulombs C
En régime variable (dépendant du temps),
l’intensité s’obtient en dérivant l’évolution $q(t)$
de la charge par rapport au temps.
Comportement capacitif
On parle de comportement capacitif lorsqu’il y a accumulation de
charges de signes opposés
sur des surfaces en regard.
Qu’est-ce qu’un condensateur ?
À quoi peuvent bien servir servir ces trucs ?
Ce sont des sortes de chateau d’eau
à charges électriques.
Ils peuvent servir à délivrer une certaine charge électrique en un court laps de temps (défibrillateur, flashs, supercondensateurs d’autobus, etc.).
Ils peuvent aussi servir d’amortisseur pour
les variations de tensions afin de protéger
des composants ou pour filtrer des signaux.
Enfin, comme leurs caractéristiques
électriques dépendent de leur géométrie,
ils peuvent servir de capteurs.
On trouve des capteurs capacitifs pour la mesure d'épaisseur, de niveau de liquide, d'humidité, comme détecteur de présence, dans les micros, etc.
Modèle du condensateur
Un condensateur est un dipôle électrique constitué de deux surfaces conductrices en regard (les armatures), séparées par un matériau isolant (le diélectrique).
Symbole électrique :
Le condensateur a un comportement capacitif : lorsqu’il est soumis à une tension électrique non nulle, les charges électriques ${\color{#FF968D}q_A}$ et ${\color{#56C1FF}q_B}$ portées par ses deux armatures A et B sont opposées : ${\color{#FF968D}q_A}=-{\color{#56C1FF}q_B}$.
La charge $q$ portée par l’armature A d’un condensateur est proportionnelle à la tension $u_C = u_\mathrm{AB}$
mesurée entre ses bornes.
Et on nomme capacité C du condensateur le coefficient de proportionnalité entre la charge et la tension.
- $u_C$ en V
- $q$ en C
- $C$ en farads F
(1 F =1 C/V)
Une tension $u_C$ est positive si elle pointe
vers l’armature de charge $q$ positive.
Hormis les supercondensateurs qui peuvent avoir
des capacités de l’ordre de la centaine de farads,
les capacités s’étalent typiquement de la dizaine
de picofarads à la dizaine de millifarads.
Circuit RC série
Charge
On charge un condensateur de capacité $C$
initialement déchargé à travers un dipôle ohmique
de résistance $R$ sous une tension $E$.
À l’instant initial ($t=0$), on ferme l’interrupteur K.
D'après la loi des mailles :
Appliquons la loi d’Ohm aux bornes du dipôle ohmique :
Puis rappelons la définition de l’intensité
en fonction de la charge $q(t)$ :
Et le lien entre la tension aux bornes
du condensateur et la charge :
On en déduit que :
En réinjectant dans la loi des mailles, on obtient :
Après division par $RC$ :
Équation différentielle du premier ordre à coefficients constants et avec second membre constant.
La solution générale de cette équation s’écrit :
On a par conséquent :
Injectons la solution dans l’équation différentielle :
Comme le membre de gauche dépend du temps,
il ne peut pas être égal pour tout instant $t≥0$
au membre de droite, qui lui est constant,
sauf si les deux sont nuls indépendamment.
La première équation implique :
Et la seconde :
On a ainsi :
Il ne reste plus qu'à déterminer $A$
grâce aux conditions initiales.
On sait que le condensateur est initialement déchargé.
$\Rightarrow u_C(t=0)=0$
D'où
Finalement :
Qu'on peut réécrire plus élégamment :
Autre méthode
Repartons de :
$ u_C(t) = A\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}} + B$
Plaçons-nous en $t\rightarrow \infty$.
On atteint alors le régime permanent.
Que vaut l'intensité dans le circuit en $t\rightarrow \infty$ ? 0 !
En effet, le condensateur est alors entièrement chargé et se comporte comme un interrupteur ouvert.
La loi des mailles donne alors $u_c(t\to\infty)=E$.
($u_R(t\to\infty)=R\times i(t\to\infty) = 0$)
Or puisque $\displaystyle \lim_{t\to\infty} \mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}} = 0$
On obtient ainsi :
On détermine $A$ grâce aux conditions initiales :
(condensateur initialement déchargé)
Enfin, on injecte $u_C(t) = -E\,\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}} + E$
dans l’équation différentielle :
Or un produit ne peut être nul
que si un de ses facteurs est nul.
Et comme $\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}} > 0$, alors $\tau = RC$
Le plus souvent, au bac, la démarche est plus simple :
- On vous demande d'abord d'établir l'équation différentielle régissant l'évolution de $u_C$, souvent
en proposant la forme $\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}+\frac{u_C}{\tau} = \frac{E}{\tau}$ et en demandant alors d'expliciter $\tau$ en fonction de $R$ et $C$.
- On vous demande ensuite de vérifier que $u_C(t)=E\times\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}\right)$ est solution.
Il suffit d'injecter la solution dans l'équation et de vérifier que ses deux membres sont bien égaux.
Exemple de ce type d'enchainement :
"Défibrillateur cardiaque"
Mais des démonstrations complètes
sont parfois demandées 💀
Exemple :
"La physique au service du vigneron"
Décharge
On décharge un condensateur de capacité $C$ initialement chargé à la tension $E$ à travers
un dipôle ohmique de résistance $R$.
À $t=0$, on ferme l'interrupteur.
$$ \begin{cases} \text{loi des mailles} : u_C(t) + u_R(t) ={\color{#FFF056}0}\\ \text{loi d’Ohm} : u_R = R\times i(t)\\ i(t)=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}\\ q(t)=C\times u_C(t) \end{cases} $$
On obtient à nouveau une équation différentielle
du premier ordre à coefficient constant.
Mais celle-ci est homogène
(sans seconde membre).
La solution est de la forme :
On injectant dans l’équation différentielle,
on obtient $\tau = RC$.
Et en utilisant le fait que le condensateur est initialement chargé sous la tension $E$ :
D’où finalement :
Simulations
Temps caractéristique
On peut vérifier sur l’équation différentielle
que le temps caractéristique $\tau=RC$
a bien la dimension d’un temps.
$\tau$ caractérise la durée caractéristique du
régime transitoire (partie de l’évolution
où les variations sont grandes).
Pour obtenir $\tau$ graphiquement :
- on trace la tangente à l'origine ;
- $\tau$ est alors l'abscisse du point d'intersection de la tangente et de l'asymptote horizontale $u_C=E$ (pour la charge) ou $u_C = 0$ (pour la décharge).
Autre méthode :
On regarde le temps au bout duquel $u_C(t)$
dépasse 63 % de $E$ (pour la charge)
ou passe sous 37 % de $E$ (pour la décharge).
On peut prouver qu’on approche le régime permanent
($E$ pour la charge ou 0 pour la décharge)
à mieux de 99 % au bout de $5\tau$.
Cela donne un critère de séparation entre
régime transitoire et régime permanent.