TD forces de frottement

Forces de frottement
entre un fluide et un solide

On appelle aussi la force d’un fluide sur un solide qui se déplace à travers lui une force de résistance aérodynamique.

Partie A :

Chute d’une goutte d’eau colorée dans de l’huile

Données :

  • Les traits rouges sont espacés de 3 cm.

  • rayon de la goutte : $r = \pu{2,0 mm}$

  • masse volumique de l’eau colorée : $\rho_{goutte} = \pu{1,0E3 kg*m-3}$

  • masse volumique de l’huile : $\rho_{huile} = \pu{9,0E2 kg*m-3}$

  • pesanteur : $g = \pu{9,8 m*s-2}$

  1. Que peut-on dire de l’évolution de la vitesse de la goutte au fur et à mesure de sa chute ?
1. La vitesse reste approximativement constante.

La poussée d’Archimède est une force qui s’oppose au poids et dont la valeur est
donnée par la formule suivante :

$$\pi_A = \rho_{fluide}\times V_{objet}\times g$$

  1. Faire le bilan des forces qui s’appliquent
    sur la goutte pendant sa chute.

  2. Calculer la valeur du poids et et de la poussée d’Archimède.

2.
  • poids $\vec{P}$
    (vertical vers le bas)
  • poussée d’archimède $\overrightarrow{\pi_A}$
    (verticale vers le haut)
  • frottements $\vec{f}$
    (opposés au mouvement
    donc vertical vers le haut)
3.
$$ \begin{align} P&=mg=V\rho_{goutte} \,g = \frac{4}{3}\pi r^3 \rho_{goutte} \,g \\\\ &= \frac{4}{3}\pi \times (\pu{2,0E-3})^3\times(\pu{1,0E3})\times 9,8\\\\ &=\pu{3,3E-4 N} \end{align} $$
$$ \begin{align} \pi_A&=V\rho_{huile} \,g = \frac{4}{3}\pi r^3 \rho_{huile} \,g \\\\ &= \frac{4}{3}\pi \times (\pu{2,0E-3})^3\times(\pu{9,0E2})\times 9,8\\\\ &=\pu{3,0E-4 N} \end{align} $$

  1. Qu’est-ce que l’application du principe fondamental de la dynamique nous permet de conclure ?

  2. Déterminer la valeur de la force de frottement.

4.
Le mouvement est rectiligne uniforme,
donc l'accélération est nulle, ce qui implique, d'après le principe fondamental de la dynamique, que la résultante des forces soit, elle aussi, nulle : $$\vec{P}+\overrightarrow{\pi_A}+\vec{f}=\vec{0}$$
5.

On en déduit :

$$P=\pi_A+f$$

Et donc $$ \begin{align} &f=P-\pi_A=V(\rho_{goutte}-\rho_{huile})g\\
&f=\pu{3,3E-5 N} \end{align} $$

Partie B :

Quel danger représente une pièce de 5 centimes lâchée du haut de la Tour Eiffel ?

Pour répondre, on va déterminer comment la force de l’air sur la pièce varie en fonction de sa masse
et de sa surface en extrapolant
l’expérience du parachutiste.

Regardons d’abord comment
la force de frottement de l’air
dépend de la masse.


  1. Sur le graphe suivant, que peut-on dire
    des forces qui s’appliquent sur le parachutiste
    avant qu’il ouvre son parachute ?

  1. Tracer la valeur de $P$ en fonction de la vitesse limite $v_{lim}^2$ atteinte avant d’ouvrir le parachute.
    Vous pourrez utiliser plotly.

  2. En déduire la dépendance de la force
    de frottement avec la vitesse.

Dans le graphe suivant, on a fait varier
l’aire du parachutiste sans changer
sa masse (fixée à 80 kg).

  1. Tracer l’aire en fonction de l’inverse de la vitesse limite au carré $1/v_{lim}^2$.

  2. Comme pour une même masse, la valeur de la force de frottement doit rester constante, déduire de la question précédente la dépendance de la force avec l’aire.

  1. En supposant pour simplifier que seule la masse et l’aire interviennent dans les frottements (en réalité, la forme joue aussi mais moins), estimer la vitesse limite de la pièce de 5 cts.
    Peut-elle tuer quelqu’un ?

Forces de frottement
entre deux solides

Un TGV de 400 tonnes lancé à 324 km/h
actionne son freinage d’urgence.

On suppose que la force de frottement
est constante pendant le freinage
et que l’altitude est constante.

Il faut 3,2 km pour que le TGV s’immobilise !!

  1. Que dit le théorème de l’énergie cinétique.

  2. Faire un bilan des forces.

  3. Quelles sont les forces qui travaillent ?

  4. Déterminer la valeur de la force $f$ de frottement solide des rails sur le train.

La variation de l’énergie cinétique d’un corps
est égale à la somme des travaux
des forces qui s’appliquent sur lui. $$\Delta E_c = \sum W(\vec{F})$$

2. bilan des forces :

  • poids (verticale vers le bas)
  • réaction normale du support
    (verticale vers le haut)
  • force de frottement
    (horizontale, opposée au mouvement)

Le travail d’une force vaut le produit scalaire entre le vecteur force et le vecteur déplacement.

Ici, le déplacement étant horizontal, ni le poids, ni la réaction normale du support ne travaillent
(le produit scalaire vaut zéro).

Donc seule la force de frottement travaille
et son travail est résistant.

Rq : la réaction normale du support
ne travaille jamais.
  1. On applique le TEC :

En appelant $d$ la distance
sur laquelle le TGV s’arrête :

$$ \begin{align} \frac{1}{2}mv_{f}^2-\frac{1}{2}mv_{i}^2&=\vec{f}\cdot\vec{AB}\\
&=-fd \end{align} $$

D’où

$$ 0-\frac{1}{2}400\cdot10^3\times(324/3,6)^2=-f\times 3,2\cdot10^3 $$

$$ \begin{align} \Rightarrow &f = \frac{400\cdot10^3 \times 90^2}{2\times3,2\cdot10^3}\\
& f=\pu{5,1E5 N} \end{align} $$

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